About Aplikasi Menghitung dan Quiz Barisan dan Deret Aritmatika, Barisan dan Deret Geometri Stars belajar matematika dasar SMA tentang Soal Latihan dan Pembahasan Aplikasi Barisan dan Deret *Bunga Tunggal, Bunga Majemuk, Pertumbuhan, dan Peluruhan Calon guru belajar matematika dasar SMA tentang Soal Latihan dan Pembahasan Aplikasi Barisan dan Deret *Bunga Tunggal, Bunga Majemuk, Pertumbuhan, dan Peluruhan. Apliksai barisan dan deret dapat diterapkan pada banyak bidang, salah satunya adalah pada bidang ekonomi yaitu pada perhitungan bunga pinjaman atau bunga simpanan uang di bank atau koperasi atau lembaga lain sejenisnya. DEFINISI BUNGA Bunga adalah balas jasa atau harga yang diberikan oleh sebuah bank/koperasi kepada nasabah mereka. Atau sebaliknya bunga merupakan balas jasa atau harga yang diberikan oleh nasabah kepada sebuah bank/koperasi. Bunga Simpanan, merupakan bunga yang diberikan oleh bank/koperasi sebagai balas jasa bagi nasabah yang menyimpan uangnya di bank/koperasi. Bunga Pinjaman, merupakan bunga yang diberikan oleh nasabah kepada bank/koperasi yang meminjam uang kepada bank/koperasi. Jadi, bunga adalah jasa dari pinjaman atau simpanan yang dibayarkan pada akhir jangka waktu yang telah disepakati bersama. Jika besarnya bunga suatu pinjaman atau simpanan dinyatakan dengan persen $\left \% \right$, maka persen tersebut dinamakan suku bunga. Contoh pertama Ronaldo meminjam uang dari Koperasi Simpan Pinjam sebesar $ Setelah satu bulan, maka Ronaldo harus mengembalikan modal beserta bunganya sebesar $ Tentukan besarnya bunga dan suku bunganya? Alternatif Pembahasan $\begin{align} \text{Bunga}\ &= \\ &= \\ \hline \text{Suku Bunga}\ &= \dfrac{\text{bunga}}{\text{pinjaman awal}} \times 100 \% \\ &= \dfrac{ \times 100\% \\ &= \dfrac{ 3 }{ 100 } \times 100\% = 3\% \end{align}$ Contoh kedua Ronaldo menyimpan uangnya di sebuah Bank sebesar $ Bank memberikan bunga $0,7\%$ tiap bulan. Jika bank membebankan biaya administrasi $ setiap bulan, tentukan jumlah simpanan Ronaldo setelah satu bulan! Alternatif Pembahasan Bunga simpanan adalah $0,7\%$ tiap bulan sehingga diterima di akhir bulan adalah $\begin{align} \text{Bunga}\ &= 0,7 \% \times \\ &= \dfrac{0,7}{100} \times \\ &= \\ \hline \text{Tabungan Akhir}\ &= \text{Tabungan Awal} + \text{Bunga} - \text{Adm} \\ &= + - &= \end{align}$ BUNGA TUNGGAL Bunga suatu pinjaman/modal disebut Bunga Tunggal jika metode pemberian imbalan jasa bunga simpanan yang dihitung berdasarkan modal pokok pinjaman atau modal awal simpanan saja. Dengan sistem bunga tunggal, maka bunga yang dibayarkan setiap masa pembayaran per bulan atau per tahun adalah tetap. Misal, seorang nasabah meminjam uang dari pada sebuah koperasi sebesar $ selama satu tahun dengan suku bunga tunggal $1\%$ per bulan. Tentukan total uang yang harus dibayarkan nasabah tersebut sampai pinjamannya lunas? Alternatif Pembahasan Bunga perbulan adalah bunga tunggal sebesar $1\%$ sehingga nasabah harus membayar bunga setiap bulan sebesar $1\% \times = $. Dengan pinjaman $ selama satu tahun maka pembayaran tiap bulan adalah $\begin{align} \text{Pembayaran}\ &= \dfrac{\text{Pinjaman}}{\text{waktu}} + \text{bunga} \\ &= \dfrac{ + \\ &= + \\ &= \end{align}$ Total pembayaran selama satu tahun atau $12$ bulan adalah $ \times 12$ yaitu $ Catatan! Rumus Perhitungan Bunga Tunggal, $\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} \left 1 + i \cdot n \right \\ \hline M_{n}\ & \text{Total modal setelah}\ n\ \text{waktu} \\ M_{0}\ & \text{Modal awal} \\ n\ & \text{Jangka waktu} \\ i\ & \text{Persentase bunga simpanan} \end{align}$ Jika dengan menggunakan rumus, pembayaran total selama $12$ bulan adalah $\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} \left 1 + i \cdot n \right \\ M_{12}\ &= \left 1 + 1\% \cdot 12 \right \\ &= \left 1 + \dfrac{12 \cdot 1}{100} \right \\ &= \left \dfrac{100}{100} + \dfrac{12}{100} \right \\ &= \left \dfrac{112}{100} \right \\ &= \end{align}$ BUNGA MAJEMUK Bunga suatu pinjaman/modal disebut Bunga Majemuk jika metode pemberian imbalan jasa bunga simpanan yang dihitung berdasarkan besar modal atau simpanan pada periode bunga berjalan. Dengan sistem bunga majemuk, maka bunga yang dibayarkan setiap masa pembayaran per bulan atau per tahun tidak tetap tergantung dari sisa modal/pinjaman. Misal, seorang nasabah menyimpan uangnya pada sebuah bank sebesar $ dengan suku bunga majemuk $2\%$ per tahun. Jika uang tidak diambil selama $5$ tahun dan biaya administrasi adalah nol, maka total uang pada akhir tahun kelima adalah? Alternatif Pembahasan Bunga pertahun adalah bunga majemuk sebesar $2\%$ sehingga pertambahan tabungan sampai akhir tahun kelima dapat kita tuliskan seperti berikut ini Saldo tabungan di akhir tahun pertama adalah, $\begin{align} & + 2\% \times \\ & = + \\ & = \end{align}$ Saldo tabungan di akhir tahun kedua adalah, $\begin{align} & + 2\% \times \\ & = + \\ & = \end{align}$ Saldo tabungan di akhir tahun ketiga adalah, $\begin{align} & + 2\% \times \\ & = + \\ & = \end{align}$ Saldo tabungan di akhir tahun keempat adalah, $\begin{align} & + 2\% \times \\ & = + \\ & = \end{align}$ Saldo tabungan di akhir tahun kelima adalah, $\begin{align} & + 2\% \times \\ & = + \\ &= \\ & \simeq \end{align}$ Saldo tabungan di akhir tahun kelima adalah $ Perhitungan dengan bunga majemuk ini terlihat lebih rumit, tetapi saat ini secara umum bank menggunakan bunga majemuk untuk menghitung bunga simpanan. Catatan! Rumus Perhitungan Bunga Majemuk, $\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} \left 1 + i \right^{n} \\ \hline M_{n}\ & \text{Total modal setelah}\ n\ \text{waktu} \\ M_{0}\ & \text{Modal awal} \\ n\ & \text{Jangka waktu} \\ i\ & \text{Persentase bunga simpanan} \\ B_{n}\ & \text{Total bunga setelah}\ n\ \text{waktu} \\ \hline B_{n}\ &= M_{0} \left 1 + i \right^{n-1} \cdot i \\ \end{align}$ Jika dengan menggunakan rumus, saldo tabungan setelah $5$ tahun adalah $\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} \left 1 + i \right^{n} \\ M_{5}\ &= \left 1 + 0,02 \right^{5} \\ &= \left 1,02 \right^{5} \\ &= \left \right \\ &= \end{align}$ 1. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Pak Ahmad memerlukan tambahan modal untuk usahanya berdagang makanan, sehingga ia meminjam uang dikoperasi "Maju Jaya" sebesar $Rp dengan imbalan jasa berupa bunga sebesar $2 \%$ dari pokok pinjaman per bulan. Jika pak Ahmad akan melunasi pinjaman itu beserta bunganya setelah $6$ bulan, maka tentukanlah total pengembalian pak Ahmad... $\begin{align} A\ & \\ B\ & \\ C\ & \\ D\ & \\ E\ & \end{align}$ Alternatif Pembahasan Diketahui $M_{0} = $i = 2\% = 0,02$; $n = 6$ maka dapat kita peroleh $\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} \left 1 + i \cdot n \right \\ M_{6}\ &= \left 1 + 0,02 \cdot 6 \right \\ M_{6}\ &= \left 1 + 0,12 \right \\ &= \left 1,12 \right \\ &= \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 2. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Tina menginvestasikan uangnya di koperasi "Bangun bersama" sebesar $ Dengan sistem bunga tunggal sebesar $2\%$ per-bulan, berapakah besar modal Tina setelah $1,5$ tahun? $\begin{align} A\ & \\ B\ & \\ C\ & \\ D\ & \\ E\ & \end{align}$ Alternatif Pembahasan Diketahui $M_{0} = $i = 2\% = 0,02$; $n = 1,5\ tahun=18\ bulan$ maka dapat kita peroleh $\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} \left 1 + i \cdot n \right \\ M_{18}\ &= \left 1 + 0,02 \cdot 18 \right \\ &= \left 1 + 0,36 \right \\ &= \left 1,36 \right \\ &= \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 3. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Arman menabung sejumlah uang disebuah bank. Jenis tabungan yang dipilih Arman adalah tabungan dengan sistem bunga tunggal sebesar $3\%$ percaturwulan. Jika setelah $3$ tahun tabungan Arman menjadi $Rp maka tentukanlah besar tabungan awal Arman di bank itu... $\begin{align} A\ & \\ B\ & \\ C\ & \\ D\ & \\ E\ & \end{align}$ Alternatif Pembahasan Diketahui $M_{n} = $i = 3\% = 0,03$; $n = \dfrac{3\ tahun}{4\ bulan}=\dfrac{36\ bulan}{4\ bulan}=9$ maka dapat kita peroleh $\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} \left 1 + i \cdot n \right \\ &= M_{0} \left 1 + 0,03 \cdot 9 \right \\ &= M_{0} \left 1 + 0,27 \right \\ &= M_{0} \left 1,27 \right \\ M_{0} &= \dfrac{ \\ &= \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 4. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Pak Budi menabung sebesar $Rp di suatu bank. Jika bank memberlakukan sistem bunga tunggal sebesar $3\%$ setiap triwulan, maka setelah berapa lamakah uang tabungan pak Budi menjadi $ $\begin{align} A\ & 10\ \text{bulan} \\ B\ & 15\ \text{bulan} \\ C\ & 20\ \text{bulan} \\ D\ & 25\ \text{bulan} \\ E\ & 30\ \text{bulan} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Diketahui $M_{0} = $i = 3\% = 0,03$; $M_{n} = maka dapat kita peroleh $\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} \left 1 + i \cdot n \right \\ &= \left 1 + 0,03 \cdot n \right \\ &= + \\ &= \\ \dfrac{ &= n \\ 10 &= n \\ \end{align}$ Pada soal disampaikan bahwa bunga $3\%$ untuk setiap triwulan sehingga $n=10\ triwulan$ atau $n=30\ bulan$. $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 30\ \text{bulan}$ 5. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Pak Mulyo adalah seorang pengusaha batik. Ia menyimpan uangnya sebesar $Rp di sebuah bank. Bank tersebut memberikan bunga tabungan dengan sistem bunga majemuk sebesar $1,2 \%$ per bulan. Berapakah besarnya tabungan pak Mulyo setelah $5$ bulan? jawaban pembulatan yang terdekat $\begin{align} A\ & \\ B\ & \\ C\ & \\ D\ & \\ E\ & \end{align}$ Alternatif Pembahasan Diketahui $M_{0} = $i = 1,2\% = 0,12$; $n = 5$ maka dapat kita peroleh $\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} \left 1 + i \right^{n} \\ M_{5} &= \left 1 + 0,12 \right^{5} \\ &= \left 1,12 \right^{5} \\ & \simeq \left 1,762 \right \\ &= \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 6. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret La Ode Ahdan, seorang mahasiswa dari Sulawesi Tenggara, menginvestasikan uangnya sebesar $ di salah satu bank. Andaikan pihak bank memberikan bunga majemuk sebesar $4\%$ per-semester, berapa besar modal investasi itu setelah $2$ tahun? jawaban pembulatan yang terdekat $\begin{align} A\ & \\ B\ & \\ C\ & \\ D\ & \\ E\ & \end{align}$ Alternatif Pembahasan Diketahui $M_{0} = $i = 4\% = 0,04$; $n = 2\ \text{tahun}=4\ \text{semester}$ maka dapat kita peroleh $\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} \left 1 + i \right^{n} \\ M_{4} &= \left 1 + 0,04 \right^{4} \\ &= \left 1,04 \right^{4} \\ & \simeq \left 1,169 \right \\ &= \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 7. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Santi menyimpan uangnya di sebuah bank sebesar $Rp Setelah tiga tahun uang tabungan Santi menjadi $Rp Jika bank tersebut menerapkan sistem bunga majemuk, berapa persenkah per-tahun bunga bank tersebut? $\begin{align} A\ & 7 \% \\ B\ & 8 \% \\ C\ & 9 \% \\ D\ & 10 \% \\ E\ & 11 \% \end{align}$ Alternatif Pembahasan Diketahui $M_{0} = $n = 3\ \text{tahun}$; $M_{3} = maka dapat kita peroleh $\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} \left 1 + i \right^{n} \\ M_{3} &= \left 1 + i \right^{3} \\ &= \left 1+i \right^{3} \\ \dfrac{ &= \left 1+i \right^{3} \\ 1,331 &= \left 1+i \right^{3} \\ \left 1,1 \right^{3} &= \left 1+i \right^{3} \\ \hline 1,1 &= 1+i \\ i &= 0,1 \\ i &= 10 \% \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 10 \%$ Aplikasi lain dari barisan dan deret dapat juga kita temui pada pertumbuhan dan peluruhan Pertumbuhan yaitu bertambahnya jumlah/nilai suatu objek yang mengikuti pola aritmatika atau geometri. Contoh Perkembangbiakan bakteri Pertumbuhan penduduk Peluruhan yaitu berkurangnya jumlah/nilai suatu objek yang mengikuti pola aritmatika atau geometri. Contoh Penurunan nilai jual mobil. Penurunan jumlah populasi hewan. Catatan! Rumus Pertumbuhan Aritmetika, $\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} \left 1 + pn \right\ \text{atau}\ M_{n}= M_{0} + bn \\ \hline M_{n} & \text{Jumlah/Nilai suatu objek setelah}\ n\ \text{waktu} \\ M_{0} & \text{Jumlah/Nilai suatu objek mula-mula} \\ p & \text{Persentase pertumbuhan} \\ b & \text{Nilai beda pertumbuhan} \\ n & \text{Jangka waktu pertumbuhan} \end{align}$ Catatan! Rumus Pertumbuhan Geometri, $\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} \left 1 + p \right^{n}\ \text{atau}\ M_{n}= M_{0} \cdot r^{n} \\ \hline M_{n} & \text{Jumlah/Nilai suatu objek setelah}\ n\ \text{waktu} \\ M_{0} & \text{Jumlah/Nilai suatu objek mula-mula} \\ p & \text{Persentase pertumbuhan} \\ r & \text{Ratio pertumbuhan}\ \left r \gt 1 \right \\ n & \text{Jangka waktu pertumbuhan} \end{align}$ 8. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Elsa mulai bekerja pada suatu perusahaan pada awal tahun $2005$ dengan gaji permulaan sebesar $Rp Jika dia mendapatkan kenaikan gaji secara berkala setiap tahunnya sebesar $Rp maka berapakah gaji yang diterima Elsa pada awal tahun $2011$? $\begin{align} A\ & \\ B\ & \\ C\ & \\ D\ & \\ E\ & \end{align}$ Alternatif Pembahasan Diketahui $M_{0} = $n = 2011-2015= 6\ \text{tahun}$; $b = maka dapat kita peroleh $\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} + bn \\ M_{6} &= + 6 \cdot \\ &= \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 9. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Suatu koloni bakteri akan membelah menjadi dua setiap lima belas menit. Jika pada permulaan terdapat $90$ bakteri, maka tentukanlah jumlah bakteri setelah setengah jam? $\begin{align} A\ & 360\ \text{bakteri} \\ B\ & 720\ \text{bakteri} \\ C\ & \text{bakteri} \\ D\ & \text{bakteri} \\ E\ & \text{bakteri} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Diketahui $M_{0} = 90$; $r = 2$; $n = \dfrac{30\ \text{menit}}{15\ \text{menit}}=4$ maka dapat kita peroleh $\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} \cdot r^{n} \\ M_{4} &= 90 \cdot 2^{4} \\ &= 90 \cdot 16 = 1440 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $C\ \text{bakteri}$ 10. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Jumlah penduduk suatu kota bertambah menurut pola geometri sebesar $0,1 \%$ per bulan. Berarti jika jumlah penduduk kota itu semula $3$ juta orang maka pada akhir bulan ke-$3$ jumlahnya telah menjadi sekitar ... orang? $\begin{align} A\ & \\ B\ & \\ C\ & \\ D\ & \\ E\ & \end{align}$ Alternatif Pembahasan Diketahui $M_{0} = $p = 0,1 \% =0,001$; $n = 3$ maka dapat kita peroleh $\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} \cdot \left 1+p \right^{n} \\ M_{3}\ &= \cdot \left 1+0,001 \right^{3} \\ &= \cdot 1,003003001 \\ &= \\ & \simeq \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $C\ Rumus Peluruhan Aritmetika, $\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} \left 1 - pn \right\ \text{atau}\ M_{n}= M_{0} - bn \\ \hline M_{n} & \text{Jumlah/Nilai suatu objek setelah}\ n\ \text{waktu} \\ M_{0} & \text{Jumlah/Nilai suatu objek mula-mula} \\ p & \text{Persentase peluruhan} \\ b & \text{Nilai beda peluruhan} \\ n & \text{Jangka waktu peluruhan} \end{align}$ Catatan! Rumus Peluruhan Geometri, $\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} \left 1 - p \right^{n}\ \text{atau}\ M_{n}= M_{0} \cdot r^{n} \\ \hline M_{n} & \text{Jumlah/Nilai suatu objek setelah}\ n\ \text{waktu} \\ M_{0} & \text{Jumlah/Nilai suatu objek mula-mula} \\ p & \text{Persentase peluruhan} \\ r & \text{Ratio peluruhan}\ \left r \lt 1 \right \\ n & \text{Jangka waktu peluruhan} \end{align}$ 11. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Sebuah mobil dibeli dengan harga $ Jika setiap tahun harganya mengalami penyusutan $20\%$ dari nilai tahun sebelumnya, maka tentukanlah harga mobil itu setelah dipakai selama $5$ tahun? $\begin{align} A\ & \\ B\ & \\ C\ & \\ D\ & \\ E\ & \end{align}$ Alternatif Pembahasan Diketahui $M_{0} = $n =5\ \text{tahun}$; $i = 20\%=0,2$ maka dapat kita peroleh $\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} + \left 1-0,2 \right^{n} \\ M_{5}\ &= + \left 0,8 \right^{5} \\ &= + \left 0,32768 \right \\ &= \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 12. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Suatu pabrik kendaraan bermotor roda dua mulai memproduksi pertama pada tahun $2010$ sebanyak $ unit kendaraan. Tiap tahun produksi pabrik tersebut turun $100$ unit. Berapakah jumlah produksi pada tahun $2016$? $\begin{align} A\ & \text{unit} \\ B\ & \text{unit} \\ C\ & \text{unit} \\ D\ & \text{unit} \\ E\ & \text{unit} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Diketahui $M_{0} = $n =6\ \text{tahun}$; $b = 100$ maka dapat kita peroleh $\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} - bn \\ M_{6}\ &= - 100 \cdot 6 \\ &= - 600 \\ &= \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $E\ \text{unit}$ 13. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Suatu jenis hewan langka setiap tahun mengalami penurunan jumlah populasi menjadi $\dfrac{1}{3}$ dari jumlah populasi tahun sebelumnya. Jika pada tahun $2015$ diperkirakan jumlah populasi hewan tersebut disuatu pulau sebanyak $720$ ekor, maka berapakah perkiraan jumlah hewan itu pada tahun $2019$? $\begin{align} A\ & 6\ \text{ekor} \\ B\ & 8\ \text{ekor} \\ C\ & 10\ \text{ekor} \\ D\ & 12\ \text{ekor} \\ E\ & 14\ \text{ekor} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Diketahui $M_{0} = 720$; $n =2019-2015=4\ \text{tahun}$; $r = \dfrac{1}{3}$ maka dapat kita peroleh $\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} \cdot r^{n} \\ M_{4}\ &= 720 \cdot \left \dfrac{1}{3} \right^{4} \\ &= 720 \cdot \dfrac{1}{81} \\ &= 8,8888.. \\ & \simeq 8 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 8\ \text{ekor}$ 14. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Dengan pesatnya pembangunan pemukiman, maka daerah pesawahan semakin lama semakin sempit. Menurut data statistik, pada tahun $2003$ total areal sawah di daerah itu sekitar $400$ ha dan setiap tahun berkurang $5 \%$ dari total areal sawah semula. Berapakah diperkirakan areal sawah pada tahun $2015$? $\begin{align} A\ & 130\ \text{ha} \\ B\ & 140\ \text{ha} \\ C\ & 150\ \text{ha} \\ D\ & 160\ \text{ha} \\ E\ & 170\ \text{ha} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Diketahui $M_{0} = 400$; $n =2015-2003=12\ \text{tahun}$; $r = 5 \% = 0,05$ maka dapat kita peroleh $\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} \left 1 - pn \right \\ M_{12}\ &= 400 \left 1 - 0,05 \cdot 12 \right \\ &= 400 \left 1 - 0,6 \right \\ &= 400 \cdot 0,4 = 160 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 160\ \text{ha}$ Untuk menambah pemahaman kita terkait Aplikasi Barisan dan Deret *Bunga Tunggal, Bunga Majemuk, Pertumbuhan, dan Peluruhan ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Aplikasi Barisan dan Deret *Bunga Tunggal, Bunga Majemuk, Pertumbuhan, dan Peluruhan Matematika SMA Kurikulum 2013. 15. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Pak Ali menabung $ di suatu bank dengan bunga tunggal sebesar $4\%$ per tahun. Pak Budi juga menabung $ di bank yang sama dengan bunga majemuk $4 \%$ per tahun. Setelah $5$ tahun. Tentukan tabungan siapakah yang lebih banyak. $\begin{align} A\ & \text{Pak Ali} \\ B\ & \text{Pak Budi} \\ C\ & \text{Sama banyak} \\ D\ & \text{Tidak dapat ditentukan} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Diketahui $M_{0} = $i = 4\% = 0,04$; $n = 5\ tahun$ maka dapat kita peroleh Perhitungan uang Pak Ali dengan bunga tunggal, $\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} \left 1 + i \cdot n \right \\ M_{5}\ &= \left 1 + 0,04 \cdot 5 \right \\ &= \left 1+ 0,2 \right \\ &= \left 1,2 \right \\ &= \end{align}$ Perhitungan uang Pak Budi, dengan bunga majemuk, $\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} \left 1 + i \right^{n} \\ M_{5} &= \left 1 + 0,04 \right^{5} \\ &= \left 1,04 \right^{5} \\ & \simeq \left 1,216 \right \\ &= \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $B\ \text{Pak Budi}$ 16. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Jumlah penderita suatu jenis penyakit langka berkembang dengan sangat pesat menjadi $5 \%$ dari jumlah tahun sebelumnya. Jika pada tahun $2012$ tercatat ada $30$ orang penderita, maka tentukan perkiraan jumlah penderita pada tahun $2016$. $\begin{align} A\ & 48\ \text{Orang} \\ B\ & 42\ \text{Orang} \\ C\ & 36\ \text{Orang} \\ D\ & 32\ \text{Orang} \\ E\ & 24\ \text{Orang} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Diketahui $M_{0} = 30$; $p= 5\% = 0,05$; $n = 2016-2012= 4\ tahun$ maka dapat kita peroleh $\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} \left 1 + p \right^{n} \\ M_{4}\ &= 30 \left 1 + 0,05 \right^{4} \\ &= 30 \left 1,05 \right^{4} \\ &\simeq 30 \left 1,215 \right \\ &=36 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 36\ \text{Orang}$ 17. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Pada musim panen mangga Pak Bobi, selama $30$ hari pertama panen mangga yang dipetik terus meningkat mengikuti pola $8n + 3$ dengan $n=1,2,3,\cdots,30$. Total seluruh mangga yang dipetik pak Bobi selama sebulan $30$ hari adalah... $\begin{align} A\ & 2710\ \text{buah} \\ B\ & 3810\ \text{buah} \\ C\ & 4910\ \text{buah} \\ D\ & 5010\ \text{buah} \\ E\ & 5110\ \text{buah} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Diketahui $U_{n} = 8n+3$ sehingga yang dipetik pada hari pertama $U_{1}=81+3=11$, hari kedua $U_{2}=82+3=19$, hari ketiga $U_{3}=83+3=27$, dan seterusnya, maka dapat kita peroleh jumlah yang dipetik selama $30$ hari adalah $\begin{align} S_{30} & = 11+19+27+\cdots \\ \hline &a=11,\ b=8,\ n=30 \\ \hline S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left 2a + n-1 b \right \\ S_{30}\ &= \dfrac{30}{2} \left211 + 30-1 8 \right \\ &= 15 \left 22 + 29 8 \right \\ &= 15 \left 22 + 232 \right \\ &= 15 \left 254 \right \\ &= 3810 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 3810\ \text{buah}$ 18. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Seorang pegawai sebuah toko mendapat gaji permulaan sebesar $Rp perbulan. Jika setiap bulan ia mendapat kenaikan gaji $Rp maka gaji yang ia terima tepat pada awal tahun kedua sebesar... $\begin{align} A\ & Rp \\ B\ & Rp \\ C\ & Rp \\ D\ & Rp \\ E\ & Rp \end{align}$ Alternatif Pembahasan Diketahui $M_{0} = $n = 1\ \text{tahun}=12\ \text{bulan}$; $b = maka dapat kita peroleh $\begin{align} M_{n}\ &= M_{0} + bn \\ M_{12} &= + \cdot 12 \\ &= + \\ &= \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $E\ Rp 19. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Bila hutang sebesar $\$880$ diangsur berturut-turut tiap bulan $ \$25$, $ \$27$, $ \$29$ dan seterusnya sampai lunas. Maka lamanya angsuran itu...bulan $\begin{align} A\ & 16 \\ B\ & 20 \\ C\ & 34 \\ D\ & 44 \\ E\ & 48 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dari angsuran yang harus dibayar $S_{n} = 880$ dengan metode pembayaran $25+27+29+\cdots$ dapat kita peroleh $\begin{align} 880 & = 25+27+29+\cdots \\ \hline &a=25,\ b=2,\ S_{n}=880 \\ \hline S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left 2a + n-1 b \right \\ 880 &= \dfrac{n}{2} \left225 + n-1 2 \right \\ 880 &= \dfrac{n}{2} \left 50 + 2n- 2 \right \\ 880 &= \dfrac{n}{2} \left 48 + 2n \right \\ 880 &= 24n + n^{2} \\ 0 &= n^{2} + 24n -880 \\ 0 &= \leftn-20 \right\left n+44 \right \\ &n= 20\ \text{atau}\ n=-44\ \text{TM} \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 20$ 20. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku merupakan barisan aritmatika. Jika sisi siku-siku pendeknya $6\ cm$, maka sisi siku-siku panjangnya adalah... $\begin{align} A\ & 8\ cm \\ B\ & 10\ cm \\ C\ & 12\ cm \\ D\ & 14\ cm \\ E\ & 15\ cm \end{align}$ Alternatif Pembahasan Misal sisi-sisi segitiga siku-siku yang membentuk barisan aritmetika adalah $a$, $a+b$, dan $a+2b$. Sisi terpendek adalah $6\ cm$, dapat kita peroleh $a=6$ dan kita terapkan Teorema Pythagoras sehingga kita perolah $\begin{align} a+2b^{2} &= a^{2}+a+b^{2} \\ 6+2b^{2} &= 6^{2}+6+b^{2} \\ 36+4b^{2} +24b &= 36+36+12b+b^{2} \\ 3b^{2}+12b-36 &= 0 \\ b^{2}+4b-12 &= 0 \\ \leftb+6 \right\leftb-2 \right &= 0 \\ b=-6\ \text{atau}\ b=2 & \end{align}$ Sisi yang terpanjang adalah $a+2b=6+22=10$ Catatan! Sebagai alternatif bisa juga digunakan perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku yaitu $3x$, $4x$, dan $5x$ $\begin{align} 3x &= 6 \longrightarrow x=2 \end{align}$ Sisi terpanjang adalah $5x=52=10$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 10$ 21. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Seutas tali dipotong menjadi $6$ bagian dan masing-masing potongan itu membentuk barisan geometri. Jika potongan tali yang paling pendek sama dengan $3\ cm$ dan potongan tali paling panjang sama dengan $96\ cm$, maka panjang keseluruhan tali adalah... $\begin{align} A\ & 172\ cm \\ B\ & 189\ cm \\ C\ & 212\ cm \\ D\ & 232\ cm \\ E\ & 256\ cm \end{align}$ Alternatif Pembahasan Seutas tali dipotong menjadi $6$ dan membentuk barisan geometri kita misalkan potongan itu adalah $a$, $ar$, $ar^{2}$ , $ar^{3}$, $ar^{4}$, $ar^{5}$. Sisi terpendek adalah $a=3$ dan sehingga dapat kita peroleh $\begin{align} U_{6} &= ar^{5} \\ 96 &= 3r^{5} \\ 32 &= r^{5} \longrightarrow r=2 \\ \hline S_{6} &= \dfrac{a \left r^{6}-1 \right}{\left r-1 \right} \\ &= \dfrac{3 \left 2^{6}-1 \right}{\left 2-1 \right} \\ &= \dfrac{3 \left 64-1 \right}{\left 1 \right} \\ &= 3 \left 63 \right = 189 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 189\ cm$ 22. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Suatu jenis bakteri setiap satu detik akan membelah menjadi $3$. Jika pada permulaan ada $2$ bakteri, maka banyaknya bakteri setelah $6$ detik adalah... $\begin{align} A\ & 81\ \text{bakteri} \\ B\ & 189\ \text{bakteri} \\ C\ & 243\ \text{bakteri} \\ D\ & 316\ \text{bakteri} \\ E\ & 486\ \text{bakteri} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dari informasi pada soal, pada detik pertama ada $2$ maka detik kedua jadi $6$, detik ketiga jadi $18$, detik keempat jadi $54$, detik kelima jadi $162$ dan detik keenam jadi $486$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 486\ \text{bakteri}$ Sebagai alternatif jika yang ditanyakan nantinya setelah $100$ detik. Tentunya cara yang di atas membutuhkan energi yang extra. Kita bisa gunakan rumus-rumus yang ada yaitu sebagai berikut. Diketahui bakteri berkembang biak menjadi tiga kali lipat setiap detik maka $r=3$ dan pada detik pertama banyaknya $2$ maka $a=2$. Setelah detik keenam banyak bakteri adalah $\begin{align} U_{n}\ &= ar^{n-1} \\ U_{6}\ &= 23^{6-1} \\ &= 23^{5} \\ &= 2 243 = 486 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 486\ \text{bakteri}$ 23. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Pada akhir tahun $2006$, ilmuwan PBB melaporkan bahwa untuk mengurangi pemanasan global, disarankan agar masyarakat mengadopsi pola makan vegan mengurangi daging dan produk hewan. Jika pada bulan Maret, April dan Mei $2007$, jumlah orang yang vegan berturut-turut adalah $ $ dan $ orang, maka diperkirakan pada bulan Oktober $2007$, jumlah orang yang vegan adalah....orang $\begin{align} A\ & \\ B\ & \\ C\ & \\ D\ & \\ E\ & \end{align}$ Alternatif Pembahasan Diketahui $3/2007 $4/2007 $5/2007 maka $6/2007 $7/2007 $8/2007 $9/2007 dan $10/2007 $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ Sebagai alternatif jika yang ditanyakan nantinya setelah $100$ bulan. Tentunya cara yang di atas membutuhkan energi yang extra. Kita bisa gunakan rumus-rumus yang ada yaitu sebagai berikut. Diketahui $3-2007 $4-2007 $5-2007 maka $a= dan $r=2$. Dari maret sampai oktober maka banyak bulan adalah $8$, banyak vegan adalah $\begin{align} U_{n}\ &= ar^{n-1} \\ U_{8}\ &= \\ &= \\ &= 128 \\ &= \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ \text{bakteri}$ 24. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Seutas tali dibagi menjadi $7$ bagian dengan panjang tiap potongan mengikuti barisan geometri. Jika panjang tali paling pendek $64\ cm$ dan yang terpanjang $729\ cm$, maka panjang tali tersebut adalah...cm $\begin{align} A\ & 2039 \\ B\ & 2040 \\ C\ & 2049 \\ D\ & 2050 \\ E\ & 2059 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Diketahui banyak potogan tali $n=7$, yang terpendek $a=64$ dan yang terpanjang $U_{7}=729$, maka dapat kita peroleh $\begin{align} U_{n}\ &= ar^{n-1} \\ U_{7}\ &= 64r^{7-1} \\ 729\ &= 64r^{6} \\ \dfrac{729}{64}\ &= r^{6} \\ \left \dfrac{3}{2} \right^{6} &= r^{6}\ \longrightarrow r=\dfrac{3}{2} \\ \hline S_{n}\ &= \dfrac{a \leftr^{n}-1 \right}{r-1} \\ S_{7}\ &= \dfrac{64 \left \left \frac{3}{2} \right^{7}-1 \right}{\frac{3}{2}-1} \\ &= \dfrac{2^{6} \left \left \frac{3}{2} \right^{7}-1 \right}{\frac{1}{2}} \\ &= 2^{6} \left \dfrac{3^{7}}{2^{7}}-1 \right \cdot \dfrac{2}{1} \\ &= 2^{7} \left \dfrac{3^{7}}{2^{7}} -1 \right \\ &= 3^{7} - 2^{7} \\ &= 2187-128 = 2059 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 2059$ 25. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus. Mula–mula bergerak ke kanan $72\ cm$, kemudian ke kiri $24\ cm$, kemudian ke kanan lagi $8\ cm$, demikian seterusnya sampai benda tersebut berhenti. Maka panjang lintasan yang ditempuh benda tersebut sampai berhenti adalah... $\begin{align} A\ & 54\ cm \\ B\ & 68\ cm \\ C\ & 84\ cm \\ D\ & 108\ cm \\ E\ & 124\ cm \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan Diketahui benda bergerak dengan pola $72$, $24$, $8$, $\cdots$ sampai berhenti, maka dapat kita peroleh $\begin{align} S_{\infty } &= 72+24+8+\cdots \\ \hline & a=72,\ r=\frac{24}{72}=\frac{1}{3} \\ \hline S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\ &=\dfrac{72}{1-\frac{1}{3}} \\ &=\dfrac{72}{\frac{2}{3}} \\ &=\dfrac{72 \cdot 3}{2} = 108 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 108\ cm$ 26. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Seseorang berjalan lurus dengan kecepatan tetap $4\ km/jam$ selama satu jam pertama. Pada satu jam kedua kecepatannya dikurangi setengahnya, demikian seterusnya sampai berhenti. Maka jarak yang telah ditempuh orang itu sampai ia berhenti adalah... $\begin{align} A\ & 6\ km \\ B\ & 8\ km \\ C\ & 10\ km \\ D\ & 12\ km \\ E\ & 24\ km \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan Seseorang berjalan dengan kecepatan $4\ km/jam$, $2\ km/jam$, $1\ km/jam$, $\cdots$ sampai berhenti, maka dapat kita peroleh $\begin{align} S_{\infty } &= 4+2+1+\dfrac{1}{2}+\cdots \\ \hline & a=4,\ r=\frac{1}{2} \\ \hline S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\ &=\dfrac{4}{1-\frac{1}{2}} \\ &=\dfrac{4}{\frac{1}{2}} \\ &=8 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 8\ km$ 27. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Sebuah bola jatuh dari ketinggian $16$ meter dan memantul kembali dengan ketinggian $\dfrac{3}{4}$ dari tinggi sebelumnya. Jika pemantulan berlangsung terus menerus hingga berhenti, maka panjang lintasan bola adalah... $\begin{align} A\ & 94\ m \\ B\ & 96\ m \\ C\ & 108\ m \\ D\ & 112\ m \\ E\ & 116\ m \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan Bola jatuh dari ketinggian $16\ m$ lalu memantul seterusnya dengan ketinggian $\dfrac{3}{4}$ dari tinggi sebelumnya sampai pada akhirnya akan berhenti. Jika kita gambarkan lintasan seperti berikut ini Dari gambar di atas dapat kita peroleh panjang lintasan bola adalah $\begin{align} S_{\infty } &= 16+12+12+9+9+\dfrac{27}{4}+\dfrac{27}{4}+\cdots \\ &= 16+212+29+2 \left\dfrac{27}{4} \right+\cdots \\ &= 16+2 \left 12+9+\dfrac{27}{4}+\cdots \right \\ \hline & a=12,\ r=\frac{3}{4} \\ \hline S_{\infty } &= 16+2 \left \dfrac{12}{1-\frac{3}{4}} \right \\ &= 16+2 \left \dfrac{12}{ \frac{1}{4}} \right \\ &= 16+2 \left 48 \right \\ &= 16+ 96 \\ &=112 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 112\ m$ 28. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Seorang ibu membagikan uang kepada $5$ anaknya menurut aturan deret aritmatika. Jika uang yang diterima anak kedua $Rp dan anak keempat $Rp maka jumlah seluruh uang yang dibagikan adalah... $\begin{align} A\ & \\ B\ & \\ C\ & \\ D\ & \\ E\ & \end{align}$ Alternatif Pembahasan Metode pembagian uang dengan aturan deret aritmetika, maka dari anak kedua $Rp dan anak keempat $Rp dapat kita peroleh $\begin{align} U_{2}=a+b & = \\ U_{4}=a+3b & = \ - \\ \hline 2b &= \\ b &= \longrightarrow a= \\ \hline S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left 2a + n-1 b \right \\ S_{5}\ &= \dfrac{5}{2} \left 2 + 5-1 \right \\ &= \dfrac{5}{2} \left + 4 \right \\ &= \dfrac{5}{2} \left + \right \\ &= \dfrac{5}{2} \left \right \\ &= \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 29. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Jumlah penduduk suatu kota tiap $10$ tahun menjadi dua kali lipat. Menurut hasil sensus pada tahun $2012$ jumlah penduduk kota tersebut adalah $3,2$ juta orang. Ini berarti bahwa pada tahun $1962$ jumlah penduduk kota itu baru mencapai...orang $\begin{align} A\ & \\ B\ & \\ C\ & \\ D\ & \\ E\ & \end{align}$ Alternatif Pembahasan Jumlah penduduk tiap $10$ tahun menjadi dua kali lipat dan pada tahun $2012$ jumlanya $3,2$ juta orang, maka pada tahun $1962$ penduduknya adalah $\begin{array}{cccccccc} 2012 & 2002 & 1992 & 1982 & 1972 & 1962 \\ \hline 3,2 & 1,6 & 0,8 & 0,4 & 0,2 & 0,1 \end{array} $ Banyak penduduk pada tahun $1962$ adalah $ Dengan mengunakan rumus deret geometri dapat kita peroleh $\begin{align} U_{n} &= ar^{n-1} \\ \text{tahun}\ 1962 & = U_{1}=a \\ \text{tahun}\ 2012 & = U_{6}=ar^{5} \\ &= a \cdot 2^{5} \\ &= a \cdot 32 \\ \dfrac{ &= a \\ &= a \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 30. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Seorang perawat setiap hari membuat gulungan kapas kecil untuk pembersih dan mencatatnya. Ternyata banyaknya gulungan kapas kecil pada hari ke-$n$ memenuhi rumus $U_{n} = 80 + 20n$. Banyaknya gulungan kapas keci selama $18$ hari yang pertama adalah... $\begin{align} A\ & \text{buah} \\ B\ & \text{buah} \\ C\ & \text{buah} \\ D\ & \text{buah} \\ E\ & \text{buah} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Banyak gulungan kapas kecil pada hari ke-$n$ memenuhi rumus $U_{n} = 80 + 20n$, maka banyak kapas setelah $18$ hari adalah $\begin{align} U_{n} & = 80 + 20n \\ U_{1} & = 80+201 = 100 \\ U_{2} & = 80+202 = 120 \\ U_{3} & = 80+203 = 140 \\ & \vdots \\ \hline S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left 2a + n-1 b \right \\ S_{18}\ &= \dfrac{18}{2} \left 2 100 + 18-1 20 \right \\ &= 9 \left 200 + 17 20 \right \\ &= 9 \left 200 + 340 \right \\ &= 9 \left 540 \right \\ &= \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $C\ \text{buah}$ 31. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Jumlah penduduk yang mengidap penyakit darah tinggi di Indonesia tiap $10$ tahun menjadi $1\dfrac{1}{2}$ kali lipat. Menurut perhitungan, pada tahun $2010$ nanti akan mencapai $1,215$ juta orang. Ini berarti bahwa pada tahun $1960$ jumlah penduduk yang mengidap penyakit darah tinggi mencapai... $\begin{align} A\ & \\ B\ & \\ C\ & \\ D\ & \\ E\ & \end{align}$ Alternatif Pembahasan Jumlah penduduk yang mengidap penyakit tiap $10$ tahun menjadi $1\dfrac{1}{2}$ kali lipat dan pada tahun $2010$ jumlanya $1,215$ juta orang, maka pada tahun $1962$ penduduknya adalah $\begin{array}{cccccccc} 2010 & 2000 & 1990 & 1980 & 1970 & 1960 \\ \hline 1,215 & 0,81 & 0,54 & 0,36 & 0,24 & 0,16 \end{array} $ Banyak penduduk yang mengidap penyakit pada tahun $1960$ adalah $ Dengan mengunakan rumus deret geometri dapat kita peroleh $\begin{align} U_{n} &= ar^{n-1} \\ \text{tahun}\ 1960 & = U_{1}=a \\ \text{tahun}\ 2010 & = U_{6}=ar^{5} \\ &= a \cdot \left \dfrac{3}{2} \right^{5} \\ &= a \cdot \dfrac{243}{32} \\ \cdot \dfrac{32}{243} &= a \\ \cdot 32 &= a \\ &= a \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 32. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Pada saat awal diamati $8$ virus jenis tertentu. Setiap $24$ jam masing-masing virus membelah diri menjadi dua. Jika setiap $96$ jam seperempat dari virus dibunuh, maka banyaknya virus pada hari ke-$6$ adalah $\begin{align} A\ & 96 \\ B\ & 128 \\ C\ & 192 \\ D\ & 224 \\ E\ & 256 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Jumlah virus awal $8$, menjadi dua kali lipat setiap $24$ jam dan setiap $96$ jam dibunuh seperempat, maka setelah hari ke-$6$ banyak virus adalah $\begin{array}{cccccccc} 1 \times 24 & 2 \times 24 & 3 \times 24 & 4 \times 24 & 5 \times 24 & 6 \times 24 \\ \hline 8 & 16 & 32 & 64-16=48 & 96 & 192 \end{array} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 192$ 33. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Setiap bulan siswa Bimbingan Belajar "Alfabetha" bertambah dengan jumlah yang sama. Siswa baru yang mendaftar pada bulan kedua dan siswa yang mendaftar pada bulan empat berjumlah $20$ orang, sedangkan yang mendaftar pada bulan ke lima dan bulan keenam berjumlah $40$ orang. Jumlah semua siswa kursus tersebut dalam $10$ bulan pertama adalah... $\begin{align} A\ & 180\ \text{orang} \\ B\ & 190\ \text{orang} \\ C\ & 198\ \text{orang} \\ D\ & 200\ \text{orang} \\ E\ & 220\ \text{orang} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Jumlah siswa yang mendaftar bertambah dengan jumlah yang sama, maka pertambahan mengikuti pola aritmetika, maka dapat kita peroleh $\begin{align} U_{2}+U_{4} & = 20 \\ U_{5}+U_{6} & = 40 \\ \hline a+b+a+3b & = 20 \\ a+4b+a+5b & = 40 \\ \hline 2a+4b & = 20 \\ 2a+9b & = 40\ \ - \\ \hline 5b &= 20\ \\ b &= 4\ \longrightarrow a=2 \\ \hline S_{n}\ &= \dfrac{n}{2} \left 2a + n-1 b \right \\ S_{10}\ &= \dfrac{10}{2} \left 2 2 + 10-1 4 \right \\ &= 5 \left 4 + 9 4 \right \\ &= 5 \left 4 + 36 \right \\ &= 5 \left 40 \right \\ &= 200 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 200\ \text{orang}$ 34. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Berdasarkan penelitian, populasi hewan $A$ bertambah dua kali lipat setiap $10$ tahun. Jika pada tahun $2000$ populasi hewan $A$ $640$ ribu ekor, maka pada tahun $1930$ populasinya adalah...ekor $\begin{align} A\ & \\ B\ & \\ C\ & \\ D\ & \\ E\ & \end{align}$ Alternatif Pembahasan Jumlah hewan tiap $10$ tahun menjadi dua kali lipat dan pada tahun $2000$ jumlanya $640$ ribu, maka pada tahun $1930$ banyak hewan adalah $\begin{array}{ccccccccc} 2000 & 1990 & 1980 & 1970 & 1960 & 1950 & 1940 & 1930 \\ \hline 640 & 320 & 160 & 80 & 40 & 20 & 10 & 5 \end{array} $ Banyak hewan pada tahun $1930$ adalah $ Dengan mengunakan rumus deret geometri dapat kita peroleh $\begin{align} U_{n} &= ar^{n-1} \\ \text{tahun}\ 1930 & = U_{1}=a \\ \text{tahun}\ 2000 & = U_{8}=ar^{7} \\ &= a \cdot 2^{7} \\ &= a \cdot 128 \\ \dfrac{ &= a \\ &= a \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ 35. Soal Latihan Aplikasi Barisan dan Deret Diketahui dua orang pekerja dengan gaji permulaan $Rp Setiap tahun pekerja pertama mendapat kenaikan gaji sebesar $Rp sedangkan pekerja kedua mendapat kenaikan gaji $Rp setiap dua tahun. Setelah $10$ tahun bekerja selisih gaji kedua pekerja tersebut adalah... $\begin{align} A\ & \\ B\ & \\ C\ & \\ D\ & \\ E\ & \end{align}$ Alternatif Pembahasan Kenaikan gaji dua pekerja menggunakan konsep aritmetika, dimana pekerja pertama naik $ setiap tahun sehingga dalam sepuluh tahun naik sebesar $10 \times = Pekerja kedua naik $ setiap dua tahun sehingga dalam sepuluh tahun naik sebesar $5 \times = Selisih gaji kedua pekerja adalah $ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $A\ Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras Pembahasan soal Aplikasi Barisan dan Deret di atas beberapa adalah coretan kreatif siswa pada lembar jawaban penilaian harian matematika, lembar jawaban penilaian akhir semester matematika, presentasi hasil diskusi matematika atau pembahasan quiz matematika di kelas. Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Belajar Aplikasi Barisan dan Deret *Bunga Tunggal, Bunga Majemuk, Pertumbuhan, dan Peluruhan Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊. Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 🀠dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Padakesempatan ini Ruangsoal membahas tentang soal cerita barisan dan deret aritmatika dalam kehidupan sehari-hari. Kumpulan soal-soal di bawah ini merupakan kumpulan soal dari Ujian Nasional, Soal Ebtanas, dan lain-lain. Soal Cerita dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmatika. Soal 1 (EBTANAS 2001 SMK)
Hai Quipperian, bagaimana kabarnya? Semoga selalu sehat dan tetap semangat, ya! Pada pertemuan kali ini, Quipper Blog akan membahas tentang baris dan deret. Konsep baris dan deret ini biasa kamu jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya saat kamu berinvestasi sebesar Pada bulan pertama kamu investasi, keuntungan yang diperoleh adalah Pada bulan kedua, keuntungannya menjadi dan bulan ketiga menjadi Kira-kira berapa keuntungan yang kamu dapatkan setelah 10 bulan berinvestasi? Total keuntungan yang akan kamu dapatkan setelah 10 bulan berinvestasi bisa langsung kamu tentukan dengan konsep baris dan deret ini, lho. Ingin tahu pembahasan selanjutnya tentang baris dan deret? Simak ulasan berikut. Secara umum, barisan dan deret dibagi menjadi dua, yaitu barisan dan deret aritmetika serta barisan dan deret geometri. Apakah perbedaan keduanya? Barisan Aritmetika Barisan aritmetika merupakan barisan bilangan dengan pola yang tetap berdasarkan operasi penjumlahan dan pengurangan. Selisih antara dua suku berurutan pada barisan aritmetika disebut beda yang dilambangkan dengan b. Rumus untuk menentukan beda pada barisan aritmetika adalah sebagai berikut. Keterangan b = beda; Un= suku ke-n; Un+1= suku sebelum suku ke-n; dan n= banyaknya suku. 1. Bentuk barisan aritmetika Adapun bentuk barisan aritmetika adalah sebagai berikut. Rumus selisih atau bedanya, adalah sebagai berikut. Keterangan Un+1 = suku ke-n +1; Un = suku ke-n; dan b = beda atau selisih. Akibat dari rumus suku ke-n tersebut, dapat diperoleh U1, U2, U3, …, Un-2, Un-1, Un a, a+b, a+2b, …, a+n-3b, a+n-2b, a+n-1b Jika banyak suku n ganjil, suku tengah Ut barisan aritmetika dapat dirumuskan sebagai berikut. Sementara itu, jika di antara dua buah suku U1,U2,U3,…,Un disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika baru, beda dan banyak suku dari barisan tersebut akan berubah sesuai rumusan berikut. Keterangan b’= beda barisan aritmetika baru; b= beda barisan aritmetika lama; k= banyak bilangan yang disisipkan; n= banyak suku barisan aritmetika baru; dan n= banyak suku barisan aritmetika lama. Perlu diingat bahwa suku pertama barisan baru sama dengan suku pertama barisan lama. 2. Suku ke-n barisan aritmetika Saat Quipperian diminta untuk mencari suku ke-n dari barisan aritmetika, cara termudahnya adalah dengan menelusuri satu per satu sampai mencapai suku ke-n. Namun, cara ini tergolong tidak praktis dan membutuhkan banyak waktu. Jika yang diminta suku ke-10 mungkin masih bisa. Bagaimana jika yang diminta suku ke-1000? Kebayang kan betapa rumitnya? Untuk itu, rumus suku ke-n yang bisa kamu gunakan adalah sebagai berikut. Keterangan a = suku awal U1; Un = suku ke-n; dan b = beda atau selisih. Agar kamu lebih paham, yuk simak contoh soal berikut. Contoh soal 1 Tentukan suku ke-20 dari barisan 2, 6, 10, 14, …, …,! Pembahasan Diketahui a = 2 b = 6 – 2 = 4 Ditanya U20 =…? Pembahasan 3. Suku tengah barisan aritmetika Jika Quipperian menemukan barisan aritmetika yang banyak sukunya ganjil, pasti barisan aritmetika tersebut memiliki suku tengah Ut. Secara matematis, Ut dirumuskan sebagai berikut. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut. Contoh soal 2 Suku tengah barisan aritmetika adalah 15. Jika banyaknya suku barisan tersebut 11 dan suku ke-4 bernilai -3, tentukan suku terakhirnya! Pembahasan Diketahui Ut = 15 n = 11 Ditanya Un =…? Pembahasan Pertama, Quipperian harus mencari nilai t. Suku tengah adalah suku ke-6. Artinya, U6 = 15. Untuk mencari nilai a dan b, gunakan metode eliminasi. Substitusikan nilai b ke persamaan 1. Selanjutnya, tentukan suku terakhir barisan tersebut. Jadi, suku terakhirnya adalah 60. 4. Sisipan bilangan pada barisan aritmetika Misalkan Quipperian menjumpai barisan aritemtika dengan beda b. Lalu, barisan aritmetika tersebut disisipi k bilangan di setiap 2 bilangan yang berdekatan. Setelah disisipi k bilangan, terbentuk barisan aritmetika baru yang bedanya b’. Pertanyaannya adalah berapakah beda bilangan aritmetika yang baru? Daripada pusing-pusing, gunakan persamaan berikut. Ketentuannya, suku pertama barisan yang baru sama dengan suku pertama barisan sebelumnya karena bilangan yang disisipkan tidak berada di awal baris. Deret Aritmetika Deret aritmetika berkaitan dengan barisan aritmetika. Deret aritmetika yang disimbolkan dengan Sn merupakan jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Dengan kata lain, penjumlahan dari suku-suku barisan aritmetika disebut dengan deret aritmetika. Rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmetika tersebut adalah sebagai berikut. Substitusikan Un=a+n-1 b, sehingga diperoleh Misalkan Sn-1= U1 +U2+ U3+ … +Un-1 dan Sn=U1+U2+ U3+…+Un-1+Un. Ini berarti, hubungan antara Sn-1 dan Un adalah sebagai berikut. Mungkin terasa hambar jika belum dilengkapi contoh soal ya? Tak usah khawatir, berikut ini contoh soal berkaitan dengan deret aritmetika. Contoh soal 3 Berapakah jumlah bilangan kelipatan 3 antara 10 sampai 100? Pembahasan Jumlah bilangan kelipatan 3 antara 10 sampai 100 adalah sebagai berikut. Keterangan a = 12 banyaknya suku = 30 Jadi, jumlah bilangan kelipatan 3 antara 10 sampai 100 adalah Barisan Geometri Apa sih barisan geometri itu? Lalu apa bedanya dengan barisan aritmetika? Barisan geometri merupakan barisan bilangan yang hasil bagi antara dua suku berurutannya selalu sama atau tetap. Perbandingan hasil bagi antara dua suku berurutan pada barisan geometri disebut dengan rasio yang dilambangkan dengan r. 1. Bentuk barisan geometri Rumus untuk menentukan rasio pada barisan geometri adalah sebagai berikut. Keterangan r = rasio; Un = suku ke-n; Un-1= suku sebelum suku ke-n; dan n = banyaknya suku. 2. Suku ke-n barisan geometri Suku ke-n masih bisa kamu tentukan selama nilai n belum terlalu besar. Namun, jika nilai n cukup besar, cara seperti itu sulit untuk dilakukan. Untuk memudahkan kamu dalam menghitung suku ke-n barisan geometri, gunakan persamaan berikut. Akibat dari rumus suku ke-n tersebut, dapat diperoleh Jika banyak suku n ganjil, suku tengah Ut barisan geometri dapat dirumuskan sebagai berikut. Sementara itu, jika di antara dua buah suku U1,U2,U3,…,Un disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan geometri baru, rasio dan banyak suku dari barisan tersebut akan berubah sesuai rumusan berikut. Keterangan r’= rasio barisan geometri baru; r= rasio barisan geometri lama; k= banyak suku yang disisipkan; n’= banyak suku barisan geometri baru; dan n= banyak suku barisan geometri lama. Perlu diingat bahwa suku pertama barisan baru sama dengan suku pertama barisan lama. Dengan a merupakan suku pertama atau U1. Untuk mengasah kemampuanmu, simak contoh soal berikut ini. Contoh soal 4 Diketahui suku ke-2 dan ke-4 barisan geometri berturut-turut adalah 12 dan 27. Jika nilai r > 0, tentukan nilai dari suku ke-3! Pembahasan Diketahui U2 = 12 U4 = 27 r > 0 Ditanya U3 =…? Pembahasan Nyatakan suku ke-2 dan ke-4 dalam notasi matematis. Lakukan pembagian antara kedua suku seperti berikut. Setelah rasio diketahui, tentukan suku ke-3nya. Jadi, nilai dari suku ke-3 adalah 18. 3. Suku tengah barisan geometri Sama halnya barisan aritmetika. Pada barisan geometri yang banyak sukunya ganjil, suku tengahnya bisa diperoleh dengan persamaan berikut. 4. Sisipan pada barisan geometri Misalkan Quipperian menjumpai barisan geometri dengan rasio r. Lalu, barisan geometri tersebut disisipi k bilangan di setiap 2 bilangan yang berdekatan. Setelah disisipi k bilangan, terbentuk barisan geometri baru yang rasionya k’. Pertanyaanya adalah berapakah rasio barisan geometri yang baru? Untuk memudahkan Quipperian, gunakan persamaan berikut. Deret Geometri Jumlah suku ke-n pertama dari suku-suku barisan geometri disebut sebagai deret geometri berhingga. Mengapa disebut berhingga? Karena memiliki suku akhir tertentu. Apakah mungkin ada deret geometri tak hingga? Mungkin saja sih. Pembahasan deret geometri tak hingga bisa kamu dapatkan di pembahasan Quipper Blog selanjutnya. Secara matematis, jumlah suku ke-n pertama barisan geometri dirumuskan sebagai berikut. Agar belajarmu lebih afdal, simak contoh soal terkait deret geometri berikut. Contoh soal 5 Pembahasan Diketahui Ditanya r =…? Pembahasan Pertama, Quipperian harus mencari suku pertama dan kedua barisan tersebut. Selanjutnya, tentukan jumlah 2 suku pertama barisan geometri tersebut. Tentukan suku ke-2nya. Tentukan rasionya! Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah 3. Di awal pertemuan ini, Quipperian diajak untuk menghitung berapa keuntungan setelah berinvestasi selama 10 bulan? Penasaran? Check check this out! Contoh soal 6 Kamu berinvestasi sebesar Pada bulan pertama kamu investasi, keuntungan yang diperoleh adalah Pada bulan kedua, keuntungannya menjadi dan bulan ketiga menjadi Kira-kira berapa keuntungan yang kamu dapatkan setelah 10 bulan berinvestasi? Dan berapa total uang yang bisa kamu kumpulkan setelah berinvestasi selama 10 bulan? Pembahasan Pada kondisi tersebut, keuntungan setiap bulan merupakan kelipatan 2 dari bulan sebelumnya. Artinya, jika dibentuk barisan, keuntungan tersebut akan menjadi barisan geometri, yaitu …,Un. Setelah 10 bulan, keuntungannya akan menjadi Jadi, keuntungan yang akan kamu dapatkan setelah berinvestasi selama 10 bulan adalah dengan total uang mencapai + = Apakah Quipperian semakin paham dengan materi baris dan deret ini? Jika sudah paham, cobalah kamu asah kemampuan dengan banyak berlatih mengerjakan soal. Soal-soal itu bisa kamu dapatkan di Quipper Video. Quipper Video menyediakan ribuan soal beserta pembahasannya yang bisa kamu kerjakan kapanpun dan dimanapun. So tunggu apa lagi? Bersama Quipper Video, belajar jadi lebih mudah dan menyenangkan. Salam Quipper! Penulis Eka Viandari

Berbedadengan barisan, deret merupakan hasil penjumlahan pada barisan aritmetika. Namun, deret tidak selalu menjumlahkan keseluruhan suku dalam suatu barisan. Rumus deret hanya menjumlahkan barisan aritmetikanya hanya sampai suku yang diperintahkan saja. Contoh deret aritmetika: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + . 24 + 20 + 16 + 12 + .

Pada pembelajaran modul ini, Anda akan belajar mengenai barisan dan deret geometri meliputi bentuk umum barisannya, rumus umumnya, dan aplikasinya. Barisan dan deret geometri merupakan materi kelanjutan dari barisan dan deret aritmetika. Oleh karenanya, proses pembelajaran untuk materi pada modul ini akan dapat berjalan dengan baik jika Anda mengikuti langkah-langkah berikut 1. Ingat kembali materi • Akar dan pangkat • Pola bilangan • Barisan dan deret aritmetika 2. Pelajari materi pada setiap kegiatan belajar, selesaikan Latihan pada forum diskusi, dan selesaikan tes formatif secara mandiri. 3. Cocokkan jawaban tes formatif yang Anda kerjakan dengan kunci jawaban yang diberikan. 4. Apabila tingkat penguasaan Anda 74% atau lebih, Anda dapat melanjutkan ke kegiatan belajar selanjutnya. Apabila tingkat penguasaan Anda kurang dari 74%, maka Anda harus mempelajari kembali materi yang belum Anda pahami. 5. Keberhasilan pembelajaran Anda dalam mempelajari materi pada modul ini sangat tergantung pada kesungguhan Anda dalam belajar dan mengerjakan tugas dan latihannya. Untuk itu, berlatihlah secara mandiri atau berkelompok dengan teman sekelas Anda.

73 BARISAN DAN DERET GEOMETRI. Perhatikan barisan – barisan berikut ini : a. 2, 4,8, 16, 32, 64, 128, b. 2, -4,8, -16, 32, -64, 128, Kalau kita perhatikan pola barisan – barisan diatas, untuk mendapatkan suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suatu angka ( rasio ) yang tetap dengan suku sebelumnya yaitu
Jakarta - Geometri sering kita jumpai. Dalam kehidupan sehari-hari banyak kejadian yang memiliki pola tertentu sehingga membantu kita dalam beraktivitas. Contohnya dapat kita temukan dalam jumlah penduduk suatu penduduk pada suatu kota A, selalu meningkat 3 kali dari tahun sebelumnya. Hasil sensus penduduk tahun 2020 menunjukkan jumlah penduduk di kota tersebut adalah jiwa. Pada kasus ini kita dapat menghitung Jumlah penduduk di suatu kota dari tahun ke tahun dapat diprediksi menggunakan barisan dan deret merupakan barisan bilangan yang suku berikutnya didapat dari penambahan suku sebelumnya. Sedangkan deret adalah penjumlahan dari barisan. Barisan dan deret dibedakan menjadi aritmatika dan geometri. Artikel ini akan menjelaskan tentang deret lebih mudah memahami deret geometri, dapat dilihat contoh berikutBarisan geometri 2, 6 , 18 , 54 , ... .Deret geometri 2 + 6 + 18 + 54 + ... .Jumlah n suku pertama deret geometri ditulis dengan SnJadi S1 = U1 = 2 S2 = U1 + U2 = 2 + 6 = 8 S3 = U1 + U2 + U3 = 2 + 6 + 18 = 26 S4 = U1 + U2 + U3 + U4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80Sehingga rumus deret geometri dapat diformulasikan denganRumus deret geometri yang bisa membantu siswa belajar matematika Foto Sumber Belajar Kemdikbud Sedangkan rumus jumlah n suku pertama deret geometri ditemukan dengan Sn = U1 + U2 + U3 + ... + UnSn = a + ar + ar2 + ... + arn-1 r x Sn = ar + ar2 + .... + arn-1 + arn -Sn- = a + 0 + 0 + + 0 + arn1 - rSn = a - arn1 - rSn = a 1 - rnRumus geometri Foto Istimewa Contoh Soal Deret GeometriJumlah dari 400 + 200 + 100 + 50 + 25 + 12,5 = ...Jawaban a = 400 r = 200 400 = 100 200 = ½ n = 6 Jadi jumlah dari 500 + 200 + 100 + 50 + 25 + 12,5 = 787,5Itulah penjelasan deret geometri dan contoh soalnya, mudah kan. Sekarang coba detikers cari apa ada contoh deret geometri lain di sekitarmu? Simak Video "Ini Nono, Siswa SD NTT yang Menang Lomba Matematika Tingkat Dunia" [GambasVideo 20detik] lus/lus
Barisanbilangan dan deret bilangan (pengertian, rumus dan contoh soal beserta pembahasannya). Barisan dan deret aritmatika dalam ilmu bidang matematika merupakan jenis barisan serta deret bilangan yang di mana bilangan berikutnya soal 1. 7:39 les privat online 16 089 просмотров. Peringkat tenis meja bulu tangkis 1 edi dudi 2 arman.
Pola BilanganAda barisan bilangan segitiga dan persegi?! 😲 Kaya gimana tuh? Penasaran? Cek videonya yuk! Video ini video konsep kilat. Materi dijelaskan lebih cepat. Kalau mau lebih pelan, kamu bisa pelajari di subbab "Prasyarat Barisan dan Deret" ya!Barisan dan Deret AritmetikaSuku di Indonesia kan ada banyak, kalau suku di barisan aritmetika ada apa aja ya?🤔 Yuk tonton videonya! Video ini video konsep kilat. Materi dijelaskan lebih cepat. Kalau mau lebih pelan, kamu bisa pelajari di subbab "Suku Tengah dan Sisipan" ya!Barisan dan Deret GeometriNah, kamu udah tau rumus suku tengah dan sisipan di barisan aritmetika. Kalau di barisan geometri udah tau belum caranya? Video ini video konsep kilat. Kalau mau lebih pelan pengajarannya, kamu bisa pelajari di subbab "Suku Tengah dan Sisipan" ya!Deret Geometri Tak HinggaTak hingga bilangan kan banyak banget ya. Emang bisa kita hitung deret dari suatu bilangan yang jumlahnya banyak banget?😲 Eits bisa loh, yuk tonton video ini! Kalau mau lebih pelan pengajarannya, cek subbab “Deret Geometri Tak Hingga” ya!Aplikasi Barisan dan Deret Aritmatika serta GeometriBarisan dan deret aritmetika serta geometri bisa kita pakai buat apa ya?🤔 Yuk tonton video ini! Video ini video konsep kilat. Materi dijelaskan lebih cepat. Kalau mau lebih pelan, kamu bisa pelajari di subbab "Aplikasi Deret Aritmetika dan Geometri" ya!
Deretgeometri tak hingga bersifat konvergen atau memiliki limit jumlah jika dan hanya jika dan limit jumlah ditentukan dengan rumus: S = a/1-r. Contoh Soal. Pada sebuah barisan geometri diketahui diketahui bahwa suku pertamanya 3 dan suku ke-9 adalah 768, maka suku ke-7 barisan itu sama dengan . Diketahui: a=7. U9 =768. U 7 = 3 x (2)6 = 192 Yuk, kita mempelajari barisan geometri, deret geometri, dan deret geometri tak hingga! Seperti apa bentuknya dan bagaimana rumus-rumusnya? Simak artikel berikut ini, ya! — Jika kamu sudah membaca artikel tentang barisan dan deret aritmatika, kamu pastinya sudah tahu manfaat dari mempelajari konsep barisan dan deret dalam matematika. Nah, selain barisan dan deret aritmatika, ada satu lagi nih, yang mau kita bahas di artikel ini, yaitu barisan dan deret geometri. Apa itu barisan dan deret geometri? Apa sih, perbedaannya dengan barisan dan deret aritmatika? Oke, supaya kamu nggak bingung, yuk langsung baca penjelasannya di bawah ini! Barisan geometri adalah pola yang memiliki pengali atau rasio yang tetap untuk setiap 2 suku yang berdekatan. Rasio pada barisan geometri biasa disimbolkan dengan r. Barisan geometri juga biasa disebut sebagai barisan ukur. Contoh lebih mudahnya begini, misal kamu punya barisan seperti ini 1, 3, 9, 27, … Dari barisan tersebut, kita bisa lihat antara suku pertama dengan suku kedua, antara suku kedua dan suku ketiga dan seterusnya selalu punya pengali yang tetap, yaitu 3. Dengan demikian, barisan ini termasuk barisan geometri. Nah, kalau barisan ini dituliskan dalam bentuk penjumlahan, namanya jadi deret geometri. Deret geometri itu bentuk penjumlahan dari barisan geometri. Penulisannya adalah seperti ini 1 + 3 + 9 + 27 + … Paham ya, bedanya barisan dan deret? Lalu, kalau deret geometri tak hingga itu apa? Deret geometri tak hingga hampir sama dengan deret geometri, namun deret tersebut diteruskan hingga nilainya tak hingga. Nanti kita bahas lebih lanjut ya, supaya kamu bisa lebih paham. Sekarang, kita bahas mulai dari barisan dan deret geometri dulu, yuk! Lalu selanjutnya kita akan bahas tentang deret geometri tak hingga. Barisan Geometri dan Deret Geometri Tadi, kita sudah mengenal pengertian serta contoh dari barisan geometri dan deret geometri. Sekarang, kita belajar rumus-rumusnya, ya! Pada barisan geometri dan deret geometri, terdapat tiga rumus yang harus kamu ketahui, yaitu rumus rasio, rumus Un, dan rumus Sn. Kita bahas satu per satu, ya! 1. Rumus Rasio pada Barisan dan Deret Geometri Rasio adalah nilai pengali pada barisan dan deret. Rumus untuk mencari rasio pada barisan geometri dan deret geometri adalah seperti infografis berikut. Misalnya kita punya barisan geometri 1, 3, 9, 27, 81, …. Suku pertama a dari barisan geometri tersebut adalah 1. Maka r-nya adalah Jadi, rasio dari barisan geometri tersebut adalah 3. Sekarang kita pelajari rumus suku ke–n Un, yuk! 2. Rumus Un pada Barisan dan Deret Geometri Un adalah suku ke-n pada barisan dan deret. Untuk mencari Un pada barisan geometri dan deret geometri, kamu bisa menggunakan rumus berikut ini. Misalnya kita punya barisan geometri 1, 3, 9, 27, 81, …. Lalu, kita coba cari Un nya. Misalnya n yang mau dicari adalah 6, maka Un = arn-1 U6 = ar5 U6 = 1 . 35 U6 = 1 . 243 U6 = 243 Jadi, U6 dari barisan geometri tersebut adalah 243. Mudah kan, rumusnya? Syaratnya adalah kamu harus mengetahui berapa nilai a dan r-nya. Dengan begitu, kamu sudah bisa mencari Un dengan mudah. Sekarang, kita cari tahu rumus selanjutnya yuk! 3. Rumus Sn pada Barisan dan Deret Geometri Sn adalah jumlah suku ke-n pada barisan dan deret. Nah, bagaimana cara kita mencari tau Sn pada barisan geometri dan deret geometri? Berikut ini adalah rumusnya. Check it out! Misalnya kita punya barisan geometri 1, 3, 9, 27, 81, …. Lalu, kita coba cari Sn nya. Misalnya n yang mau dicari adalah 3, maka Jadi, S3 dari barisan geometri tersebut adalah 13. Oke, itu dia rumus Sn dalam barisan geometri dan deret geometri. Nah sekarang, kita lanjut bahas tentang deret geometri tak hingga, yuk! Baca juga Barisan Aritmatika Bertingkat Deret Geometri Tak Hingga Deret geometri tak hingga itu dibagi menjadi 2 jenis yaitu deret geometri tak hingga divergen dan deret geometri tak hingga konvergen. Keduanya memiliki perbedaan yang cukup penting. Yuk, kita lihat pengertian dari kedua jenis deret geometri tak hingga tersebut beserta perbedaannya! 1. Deret Geometri Tak Hingga Divergen Deret geometri tak hingga divergen adalah suatu deret yang nilai bilangannya semakin membesar dan tidak bisa dihitung jumlahnya. Bisa kita lihat seperti di bawah ini, 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + …………… Kalau ditanya berapa sih, jumlah seluruhnya? Jumlah seluruhnya tidak bisa dihitung karena nilainya semakin besar. 2. Deret Geometri Tak Hingga Konvergen Berbeda dengan deret geometri tak hingga divergen, deret geometri tak hingga konvergen merupakan suatu deret di mana nilai bilangannya semakin mengecil dan dapat dihitung jumlahnya. Seperti di bawah ini Semakin lama nilainya semakin mengecil dan ujungnya akan mendekati angka 0. Hal ini membuat deret geometri tak hingga konvergen dapat dihitung jika ditanyakan jumlah seluruhnya. Lalu bagaimana cara menghitung jumlah seluruhnya dari deret geometri tak hingga konvergen? 3. Rumus Stak hingga pada Deret Geometri Tak Hingga Konvergen Sebelum masuk ke rumus, ada syarat terlebih dahulu jika kamu bertemu dengan deret geometri tak hingga konvergen, yaitu rasionya harus bernilai antara -1 sampai 1 -1 > r > 1 dan ini berlaku untuk negatif dan positif. Contohnya seperti deret di atas. Deret di atas rasionya adalah sehingga bisa dihitung jumlah tak hingganya. Nah, sekarang kita lihat yuk rumus untuk menghitung Stak hingga atau jumlah tak hingganya! Misalnya kita punya deret geometri tak hingga konvergen Lalu, kita coba cari Stak hingga nya, maka Jadi, Stak hingga darideret geometri tak hingga konvergen tersebut adalah . Itu dia penjelasan tentang barisan geometri, deret geometri, serta deret geometri tak hingga. Bagaimana, teman-teman? Kamu sudah paham, kan? Atau kamu masih belum puas dengan penjelasannya? Hmm tenang, kamu bisa nih, belajar melalui video animasi di ruangbelajar. Di sana, kamu bisa belajar sekaligus latihan soal-soal. Selain itu, waktu belajar kamu akan lebih efektif, dan tidak akan menyita waktu bermain kamu. Jadiii tunggu apa lagi? Buruan downloadaplikasi ruangguru! Referensi Wirodikromo, S. dan Darmanto, M. 2019 Matematika untuk SMA/MA Kelas XI kelompok Wajib 2. Jakarta Erlangga. Artikel ini telah diperbarui pada 20 Oktober 2022. Akarakar persamaan kuadrat x 2 −9x + 20 = 0 adalah p dan q dimana p < q. Akar-akar persamaan kuadrat 4x 2 −29x + 25 = 0 adalah r dan s dimana r > s. Susunan akar-akar kedua persamaan tersebut yang membentuk deret geometri adalah.
Berikut ini penulis sajikan soal-soal beserta pembahasannya tentang soal cerita aplikasi mengenai barisan dan deret geometri. Soal-soal ini dikumpulkan dari berbagai sumber termasuk soal UN maupun SBMPTN. Soal juga dapat diunduh melalui tautan berikut Download PDF, 117 KB. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Aplikasi Soal Cerita Barisan dan Deret Aritmetika Today Quote “2get” and “2give” create many problems. So, just double it. “4get” and “4give” solve many problems. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Hasil produksi kerajinan seorang pengusaha setiap bulannya meningkat mengikuti aturan barisan geometri. Produksi pada bulan pertama sebanyak $150$ unit kerajinan dan pada bulan keempat sebanyak $ kerajinan. Hasil produksi selama $5$ bulan adalah $\cdots$ unit kerajinan. A. $ D. $ B. $ E. $ C. $ Pembahasan Diketahui $a = 150$ dan $\text{U}_4 = Rasio barisan geometri ini dapat ditentukan dengan melakukan perbandingan antarsuku sebagai berikut. $\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_4}{\text{U}_1} & = \dfrac{ \\ \dfrac{\cancel{a} r^3}{\cancel{a}} & = 27 \\ r^3 & = 27 \\ r & = \sqrt[3]{27} = 3 \end{aligned}$ Dengan demikian, $\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{ar^n-1} {r-1} \\ \text{S}_5 & = \dfrac{1503^5 -1} {3 -1} \\ & = \dfrac{150243 -1}{2} \\ & = 75 \cdot 242 = \end{aligned}$ Jadi, hasil produksi selama $5$ bulan adalah $\boxed{ unit kerajinan. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 2 Seutas tali dipotong menjadi $4$ bagian, masing-masing membentuk barisan geometri. Jika potongan tali terpendek adalah $2$ cm dan potongan tali terpanjang adalah $54$ cm, panjang tali semula adalah $\cdots$ cm. A. $60$ C. $80$ E. $100$ B. $70$ D. $90$ Pembahasan Panjangnya setiap potongan tali merupakan suku-suku dalam barisan geometri, dengan $\text{U} _1 = a = 2$ dan $\text{U}_4 = 54$. Dalam hal ini, akan dicari $\text{S}_4 = \text{U}_1 + \text{U}_2 + \text{U}_3 + \text{U}_4.$ Langkah pertama adalah menentukan rasionya. $\begin{aligned} \text{U}_4 & = ar^3 \\ 54 & = 2r^3 \\ 27 & = r^3 \\ r & = \sqrt[3]{27} = 3 \end{aligned}$ Jadi, rasio barisannya adalah $3$. Untuk itu, didapat $\text{U}_2 = ar = 2 \cdot 3 = 6$ dan $\text{U}_3 = ar^2 = 2 \cdot 3^2 = 18.$ Dengan demikian, $\text{S}_4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80.$ Jadi, panjang tali semula sebelum dipotong adalah $\boxed{80~\text{cm}}$ Jawaban C [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Geometri Soal Nomor 3 Pesawat terbang melaju dengan kecepatan $300$ km/jam pada menit pertama. Kecepatan pada menit berikutnya $1\dfrac12$ kali dari kecepatan sebelumnya. Panjang lintasan seluruhnya dalam $4$ menit pertama adalah $\cdots \cdot$ A. $ km D. $ km B. $ km E. $ km C. $ km Pembahasan Kecepatan pesawat tiap menitnya membentuk barisan geometri. Diketahui $a = 300$ dan $r= 1\dfrac12 = \dfrac32.$ Ditanya $\text{S}_4$ Dengan demikian, $\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{ar^n-1} {r-1} \\ \text{S}_4 & = \dfrac{300\left\left\dfrac32\right^4 -1\right} {\dfrac32 -1} \\ & = \dfrac{300\left\dfrac{81}{16} -\dfrac{16}{16}\right} {\dfrac12} \\ & = 300 \cdot \dfrac{65}{16} \cdot 2 = \end{aligned}$ Jadi, panjang lintasan seluruhnya dalam $4$ menit pertama adalah $\boxed{ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 4 Sejak tahun $2018$, terjadi penurunan pengiriman surat dari kantor pos. Setiap tahunnya banyak surat yang dikirim berkurang sebesar $\dfrac15$ dari banyak surat yang dikirim pada tahun sebelumnya. Jika pada tahun $2018$ dikirim sekitar $1$ juta surat, maka jumlah surat yang dikirim selama kurun waktu $2018 – 2022$ adalah $\cdots$ juta surat. A. $\dfrac{2101}{625}$ D. $\dfrac{365}{125}$ B. $\dfrac{369}{125}$ E. $\dfrac{360}{125}$ C. $\dfrac{2100}{625}$ Pembahasan Kasus di atas merupakan kasus barisan dan deret geometri. Diketahui $a = 1$ dalam satuan juta. Karena banyak surat berkurang sebesar $\dfrac15$ tiap tahunnya, maka pada tahun berikutnya, banyak surat menjadi $1 -\dfrac15 = \dfrac45$ sehingga rasionya adalah $r = \dfrac45$. Kurun waktu dari tahun $2018$ sampai $2022$ selama $5$ tahun sehingga $n = 5$. Dengan demikian, $\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{a1-r^n} {1-r} \\ \text{S}_5 & = \dfrac{1\left1 -\left\dfrac45\right^5 \right} {1 – \dfrac45} \\ & = \dfrac{1- \dfrac{ {\dfrac15} \\ & = \dfrac{ \times \cancel{5} = \dfrac{ \end{aligned}$ Jadi, jumlah surat yang dikirim selama kurun waktu $2018 -2022$ adalah $\boxed{\dfrac{ juta surat. Jawaban A [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Deret Geometri Tak Hingga Soal Nomor 5 Dua orang anak sedang melakukan percobaan matematika dengan menjatuhkan sebuah bola dari lantai $2$ rumah mereka. Ketinggian bola dijatuhkan adalah $9$ meter dari atas tanah. Dari pengamatan, diketahui bahwa pantulan bola mencapai $\dfrac89$ dari tinggi pantulan sebelumnya. Ketinggian bola setelah pantulan ke-$5$ yang paling mendekati adalah $\cdots$ m. A. $4,00$ D. $4,75$ B. $4,25$ E. $5,00$ C. $4,50$ Pembahasan Kasus ini merupakan kasus barisan geometri. Tinggi pantulan pertama adalah $9 \times \dfrac89 = 9$ meter. Dengan demikian, diketahui $\text{U}_1 = 9$ dan $r = \dfrac89.$ Ditanya $\text{U}_5.$ $\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ \text{U}_5 & = 9\left\dfrac89 \right^{5-1} \\ & = \dfrac{8^5}{9^4} \approx 5 \end{aligned}$ Ketinggian bola setelah pantulan ke-$5$ yang paling mendekati adalah $\boxed{5~\text{m}}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 6 Bakteri A berkembang biak menjadi dua kali lipat setiap lima menit. Setelah $15$ menit, banyak bakteri ada $400$. Banyak bakteri setelah $30$ menit adalah $\cdots \cdot$ A. $800$ D. $ B. $ E. $ C. $ Pembahasan Misalkan $\text{U}_1$ menyatakan banyaknya bakteri mula-mula $0$ menit, $\text{U}_2$ saat $5$ menit, $\text{U}_3$ saat $10$ menit, dan seterusnya. Diketahui $\text{U}_4 = ar^3 = 400$ dan $r = 2.$ Ditanya $\text{U}_7$. Dengan demikian, didapat $\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ \text{U}_7 & = ar^6 \\ & = ar^3r^3 \\ & = 4002^3 = 4008 = \end{aligned}$ Banyak bakteri setelah $30$ menit adalah $\boxed{ Jawaban D [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Versi HOTS/Olimpiade Soal Nomor 7 Chandra mengambil sebotol air dari Laut Mati yang berisi $50$ archaebacteria untuk dikembangbiakkan di laboratorium. Andaikan satu archaebacteria mulai menggandakan diri setiap $25$ menit, berapa jumlah banyaknya archaebacteria selama $5$ jam? A. $ D. $ B. $ E. $ C. $ Pembahasan Banyaknya archaebacteria setiap 25 menit membentuk barisan geometri dengan banyak mula-mula $a = 50$ dan rasio $r = 2$ karena menggandakan diri. Perhatikan bahwa dalam waktu $5$ jam setara dengan $300$ menit, archaebacteria mengalami penggandaan diri sebanyak $\dfrac{300}{25} = 12$ kali. Artinya, kita mencari suku ke-$13$ perlu ditambah $1$ yang merepresentasikan banyak archaebacteria selama $5$ jam. $$\begin{aligned} \text{U}_{n} & = ar^{n-1} \\ \text{U}_{13} & = 50 \cdot 2^{13-1} \\ & = 50 \cdot 2^{12} \\ & = 50 \cdot = \end{aligned}$$Jadi, banyaknya archaebacteria selama $5$ jam adalah $\boxed{ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 8 Keuntungan sebuah percetakan setiap bulannya bertambah menjadi dua kali lipat dari keuntungan bulan sebelumnya. Jika keuntungan bulan pertama maka keuntungan percetakan tersebut pada bulan keenam adalah $\cdots \cdot$ A. B. C. D. E. Pembahasan Kasus di atas adalah masalah kontekstual terkait barisan geometri dengan $a = dan $r = 2$. Dalam hal ini, akan dicari nilai dari $\text{U}_6.$ $\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ \text{U}_6 & = \cdot 2^{6-1} \\ & = \cdot 2^5 \\ & = \cdot 32 = \end{aligned}$ Jadi, keuntungan percetakan tersebut pada bulan keenam adalah Jawaban B [collapse] Soal Nomor 9 Pertambahan penduduk setiap tahun suatu desa mengikuti aturan barisan geometri. Pertambahan penduduk pada tahun $2010$ sebesar $24$ orang dan pada tahun $2012$ sebesar $96$ orang. Pertambahan penduduk pada tahun $2015$ adalah $\cdots$ orang. A. $687$ C. $766$ E. $876$ B. $768$ D. $867$ Pembahasan Misalkan pertambahan penduduk pada tahun $2010$ disimbolkan sebagai $\text{U}_1 =a = 24$. Dengan demikian, diperoleh $\begin{aligned} \text{U}_3 & = ar^2 \\ 24r^2 & = 96 \\ r^2 & = \dfrac{96}{24} = 4 \\ r & = 2. \end{aligned}$ Pertambahan penduduk pada tahun $2015$ adalah $\boxed{\text{U}_6 = ar^5 = 242^5 = 768~\text{orang}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 10 Pertambahan pengunjung sebuah hotel mengikuti barisan geometri. Pada tahun $2015$ pertambahannya $42$ orang dan pada tahun $2017$ pertambahannya $168$ orang. Pertambahan pengunjung hotel tersebut pada tahun $2020$ adalah $\cdots \cdot$ A. $ orang D. $472$ orang B. $762$ orang E. $336$ orang C. $672$ orang Pembahasan Misalkan pertambahan pengunjung hotel pada tahun $2015$ disimbolkan sebagai $\text{U}_1 =a = 42$. Dengan demikian, pertambahan pengunjung hotel pada tahun $2017$ adalah $\text{U}_3 = 168$. Selanjutnya, akan dicari rasio barisan geometri tersebut. $\begin{aligned} \text{U}_3 & = ar^2 \\ 42r^2 & = 168 \\ r^2 & = \dfrac{168}{42} = 4 \\ r & = 2 \end{aligned}$ Pertambahan pengunjung hotel pada tahun $2020$ adalah $\text{U}_6 = ar^5 = 422^5 = \boxed{1344~\text{orang}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 11 Hasil observasi pada penderita suatu penyakit tertentu, ditemukan bakteri yang menyebabkan luka pada bagian kaki penderita akan semakin melebar. Untuk mencegah pertumbuhan dan sekaligus mengurangi jumlah bakteri hingga sembuh, penderita diberikan obat khusus yang diharapkan dapat mengurangi bakteri sebanyak $20\%$ pada setiap tiga jamnya. Jika pada awal observasi jam terdapat sekitar $ bakteri dan langsung diberikan obat yang pertama, perkiraan jumlah bakteri setelah pemberian obat pada pukul adalah $\cdots \cdot$ A. $100$ bakteri D. $ bakteri B. $ bakteri E. $ bakteri C. $ bakteri Pembahasan Misalkan $\text{U}_1$ menyatakan banyak bakteri pada saat jam $\text{U}_2$ saat jam sampai $\text{U}_5$ saat jam Karena jumlah bakteri berkurang sebesar $20\%$, maka jumlah bakteri saat jam tertentu dapat ditentukan dengan menggunakan konsep barisan geometri dengan suku pertama $\text{U}_1 = dan $r = 1-20\% = 80\% = \dfrac45$. Akan dicari $\text{U}_5$. $\begin{aligned} \text{U}_5 & = ar^4 \\ & = \times \left\dfrac45\right^4 \\ & = \cancel{5^4} \times 10 \times \dfrac{4^4}{\cancel{5^4}} \\ & = 10 \times 256 = \end{aligned}$ Jadi, perkiraan jumlah bakteri setelah pemberian obat pada pukul adalah $ bakteri. Jawaban C [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Aritmetika
Perbedaanmendasar barisan geometri dengan deret geometri adalah tanda penjumlahan. Dalam deret, kita akan diajak untuk menemukan hasil dari penjumlahan suku-sukunya. Bentuk umum dan rumus. Simpelnya, komponen pembentuk deret geometri ini sama dengan barisan geometri, yaitu: Suku pertama (a) Rasio (r) – hasil bagi; Suku ke-n (U n) S n

Apa sih bedanya barisan aritmetika dengan deret aritmetika itu? Nah, di artikel Matematika kelas 11 kali ini, kita kupas tuntas mulai dari pengertian, rumus, hingga latihan soalnya untuk menambah pemahaman kamu. — Pernahkah kamu terpikir, mengapa kita harus mempelajari barisan dan deret aritmetika dalam pelajaran matematika, ya? Memang apa sih manfaatnya? Hmm, pertanyaan seperti itu pasti akan muncul tiap kita merasa kesulitan dengan suatu topik pelajaran, apalagi matematika kan? Hayooo ngaku! Nah, sekarang kamu akan tahu betapa pentingnya memahami topik ini. Manfaatnya banyak banget! Khususnya untuk pekerjaanmu di masa depan. Penasaran? Yuk, baca penjelasannya di bawah ini! Konsep Barisan dan Deret Barisan dan deret dalam matematika memiliki manfaat yang banyak dalam kehidupan sehari-hari. Ketika kamu ingin menjadi seorang pengusaha misalnya, perkembangan usaha yang konstan dari waktu ke waktu mengikuti baris hitung, lho! Kamu jadi bisa memprediksikan skala keuntungan atau kerugian yang akan kamu hadapi. Secara umum, barisan adalah sebuah daftar bilangan yang mengurut dari kiri ke kanan. Setiap urutan bilangannya juga memiliki karakteristik atau pola tertentu. Setiap bilangan yang ada pada barisan merupakan suku dalam barisan itu sendiri. Sementara itu, deret adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan. Misalnya, terdapat barisan U1, U2, U3, U4, ….. Un, maka deret itu adalah U1 + U2 + U3 + U4 +….. Un. Oh iya, “U” itu artinya suku ya. Kalau Un berarti suku ke-n. Lalu, apa sih yang dimaksud dengan barisan dan deret aritmetika? Pengertian Barisan dan Deret Aritmetika Sebenarnya, materi barisan dan deret aritmetika sudah pernah kamu pelajari di kelas 8, ya. Di Blog Ruangguru juga sudah ada artikelnya nih, yang berjudul Bedanya Rumus Barisan dan Deret Aritmetika beserta Contoh Soalnya. Cuma, di artikel kelas 11 ini, materi yang dibahas bakal lebih luas lagi. Aritmetika dapat diartikan sebagai ilmu hitung dasar dalam matematika yang mencakup penjumlahan, pengurangan, pembagian, juga perkalian. Kamu harus ingat, nih, penyebutan yang betul adalah aritmetika’, bukan aritmatika! Kalau kita lihat pada bentuk barisan, jika selisih antara suku ke-1 dengan suku ke-2, dan seterusnya sama, maka dapat disebut barisan aritmetika. Dengan kata lain, barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang memiliki selisih yang sama di antara suku-sukunya yang saling berdekatan. Selisih ini bisa kita sebut dengan beda, simbolnya b, ya. Kalau deret aritmetika adalah jumlah suku ke-n pertama pada barisan aritmatika. Misalnya, di suatu barisan memiliki suku pertama, yaitu 1. Suku pertama barisan aritmetika disimbolkan dengan U1 atau a. Lalu, di suku kedua U2, yaitu 4. Suku ketiga U3, yaitu 7, suku keempat U4, yaitu 10, dan seterusnya. Berarti, barisan ini memiliki beda, yaitu 3 pada setiap sukunya. Baca Juga Memahami Konsep Barisan Aritmetika Bertingkat Konsep Dasar, Rumus & Contoh Soal Rumus Barisan dan Deret Aritmetika beserta Contoh Sekarang, kita pahami rumusnya. Rumus barisan aritmetika bisa kamu gunakan untuk mencari suku ke-n Un. Sementara itu, rumus deret aritmetika berguna untuk mencari penjumlahan dari suku-suku tersebut. Oke, supaya kamu lebih mudah memahami rumusnya, kita langsung masuk ke contoh soal saja. Misalnya terdapat barisan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, … Maka, Suku pertama = U1 = a = 1 Suku kedua = U2 = 3 Suku kedua = U3 = 5 … dst sampai suku ke-n = Un Beda atau selisih suku pertama dengan suku kedua, suku kedua dengan suku ketiga, dan seterusnya b = U2 – U1 = 3 – 1 = 2 b = U3 – U2 = 5 – 3 = 2 b = U4 – U3 = 7 – 5 = 2 … dst Jadi, b = 2. Kita diminta mencari suku ke-n Un dari barisan bilangan tadi. Kalau semisal yang ditanya adalah suku ke-7 U7, caranya gampang ya, gais. Kamu tinggal tambahkan saja suku ke-6 U6 dengan nilai beda nya. b = U7 – U6 U7 = U6 + b U7 = 11 + 2 = 13 Tapi, bagaimana jika kita diminta untuk mencari suku ke-20, atau suku ke-35, atau suku ke-100? Sangat nggak efektif kalau kita jumlahkan satu per satu tiap suku dengan beda nya, ya. Oleh karena itu, kita membutuhkan rumus barisan aritmetika. Rumus Mencari Suku ke-n Un dan Beda b Sekarang, coba kita cari suku ke-20 menggunakan rumus di atas, ya! Un = a + n – 1b U20 = 1 + 20 – 12 U20 = 1 + U20 = 1 + 38 = 39 Jadi, suku ke-20 barisan aritmetika tersebut adalah 39. Lebih cepat, kan? Rumus Mencari Suku Tengah Ut Oh, iya, pada barisan aritmetika, kita bisa mencari suku tengahnya juga, loh! Wah, apa tuh maksudnya? Sesuai namanya, suku tengah adalah suku yang posisi/letaknya tepat berada di tengah-tengan barisan aritmetika. Tapi, ada syaratnya, nih. Suku tengah ini hanya bisa dicari jika banyak suku-sukunya ganjil. Rumus suku tengah barisan aritmetika adalah sebagai berikut Baca Juga Yuk, Pahami Konsep Barisan dan Deret Geometri! Contoh Terdapat barisan aritmetika 3, 6, 9, 12, …, 81 Tentukan nilai suku tengah dari barisan aritmetika tersebut! Tentukan suku ke berapakah yang menjadi suku tengah dari barisan aritmetika tersebut! Penyelesaian Diketahui a = 3 b = U2 – U1 = 6 – 3 = 3 Un = 81 Ditanya Ut dan t …? Jawab a. Ut Jadi, nilai suku tengah pada barisan aritmetika di atas adalah 42. b. t Jadi, suku ke-14 adalah suku tengah dari barisan aritmetika di atas. Rumus Sisipan Barisan Aritmetika Kalau tadi kan kasusnya kita mau mencari nilai suku tengah pada suatu barisan aritmetika. Gimana kalau sekarang kasusnya kita ubah! Misalnya, kita akan menyisipkan sejumlah bilangan ke dalam barisan aritmetika yang sudah ada. Pastinya, hal ini akan menyebabkan terbentuknya barisan aritmetika baru dong, ya. Contoh Kita punya barisan aritmetika sebagai berikut 1, 9, 17 Barisan tersebut memiliki banyak suku n = 3 dan beda b = 8. Kemudian, kita sisipkan 6 buah bilangan ke dalam barisan aritmetika di atas, sehingga 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 Jadi, terbentuklah barisan aritmetika baru dengan banyak suku n’ = 9 dan beda b’ = 2. Sampai sini paham ya dengan maksud sisipan pada barisan aritmetika? Oke, lanjut! Nah, kita bisa mencari banyak suku dan beda dari barisan aritmetika baru dengan rumus berikut ini Kita coba gunakan rumus di atas ke contoh soal ya, supaya kamu lebih mudah paham. Contoh Di antara bilangan 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan, sehingga terbentuklah barisan aritmetika baru. Tentukan Beda barisan aritmetika baru Suku tengah barisan artimetika baru dan letaknya Suku ke-10 dari barisan aritmatika baru Pembahasan Diketahui a = a’ = 20 b = 116 – 20 = 96 k = 11 Un = Un’ = 116 n’ = k + n = 11 + 2 = 13 Ditanya b’, Ut, U10 …? Jawab a. b’ Jadi, nilai beda pada barisan aritmetika baru adalah 8. b. Ut Jadi, suku tengah pada barisan aritmetika baru adalah 68. c. U10 Jadi, suku ke-10 pada barisan aritmetika baru adalah 92. Well, cukup banyak ya rumus-rumus barisan aritmetika ini. Pusing, nggak? Dipahami baik-baik dan jangan lupa untuk berlatih soal supaya kamu semakin mahir lagi, nih. Sekarang, kita lanjut ke rumus deret aritmetika. Baca Juga Cara Mencari Determinan dan Invers Matriks, Bagaimana Ya? Rumus Deret Aritmetika Deret aritmetika adalah jumlah dari suku-suku barisan aritmetika. Maksudnya gimana? Misalnya, ada barisan aritmetika 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, … Lalu, kamu diminta untuk mencari jumlah 5 suku pertama dari barisan tersebut. Jadi 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 Balik lagi, kalau yang diminta jumlah sukunya sedikit, kita masih bisa menjumlahkannya secara manual dengan mudah, ya. Tapi, gimana kalau kamu diminta untuk mencari jumlah 100 suku pertama? Waduh, bisa gempor nggak, sih? HAHAHA… Oleh sebab itu, kita butuh rumus deret aritmetika! Kita langsung ambil contoh dari soal di atas, ya. Contoh Terdapat barisan aritmetika 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, … Tentukan berapa jumlah 100 suku pertamanya! Pembahasan Diketahui a = 1 b = 2 Ditanya Sn …? Jawab Jadi, jumlah 100 suku pertama dari barisan aritmetika tersebut adalah Contoh Penerapan Barisan dan Deret di Kehidupan Sehari-hari Seperti yang sudah dijelaskan di awal tadi, belajar barisan dan deret juga ada manfaatnya dalam kehidupan sehari-hari, lho! Contohnya untuk menghitung pertumbuhan penduduk, bunga majemuk, anuitas, dan masih banyak lagi. Hal penting yang perlu kamu ingat, semua ilmu itu pasti ada manfaatnya. Jadi, nggak ada alasan buat kamu untuk malas belajar materi ini, ya! Baca Juga Memahami Konsep Turunan Fungsi Aljabar secara Lengkap Oke, sampai di sini sudah paham belum? Kalau kamu ingin mendalami pemahamanmu tentang cara menghitung barisan dan deret aritmetika, kamu bisa belajar menggunakan video animasi bersama Master Teacher yang berpengalaman. Ada pula kumpulan soal-soal untuk menemanimu berlatih di mana saja dan kapan saja. Semua itu bisa kamu dapatkan melalui ruangbelajar di aplikasi Ruangguru. So, jangan lupa download, ya! Referensi Wirodikromo, S. dan Darmanto, M. 2019 Matematika untuk SMA/MA Kelas XI kelompok Wajib 2. JakartaErlangga.

k2Yqb.
  • ae9cxl4n7s.pages.dev/178
  • ae9cxl4n7s.pages.dev/437
  • ae9cxl4n7s.pages.dev/51
  • ae9cxl4n7s.pages.dev/404
  • ae9cxl4n7s.pages.dev/315
  • ae9cxl4n7s.pages.dev/7
  • ae9cxl4n7s.pages.dev/256
  • ae9cxl4n7s.pages.dev/352

    • aplikasi barisan dan deret geometri